Resume
Metode Grafik dan Eliminasi Gaus
oleh :
Jumadir
11.16.12.0033
Jurusan Tarbiyah Prodi Matematika
Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri Palopo
2012/2013
A. METODE GRAFIK
1. Pengertian Metode grafik
Metode grafik
hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua
variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama
yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam
bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan
adalah :
1.
pahamilah secara menyeluruh permasalahan
manajerial yang dihadapi
2.
identifikasikan tujuan dan kendalanya
3.
definisikan variabel keputusannya
Metode grafik
adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi
dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa
digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit
dilakukan.
Dua macam
fungsi Program Linear:
Ø Fungsi
tujuan
: mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
Ø Fungsi
kendala
: untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya
tersebut.
2. Masalah Maksimasi
Maksimasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan
atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang
akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk
memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang
wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,
benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap
unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel
berikut:
Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja
|
Kg Bahan Baku & Jam Tenaga
Kerja
|
Maksimum Penyediaan
|
|
Kain Sutra
|
Kain Wol
|
||
Benang Sutra
|
2
|
3
|
60 kg
|
Benang Wol
|
-
|
2
|
30 kg
|
Tenaga Kerja
|
2
|
1
|
40 kg
|
Langkah-langkah:
1) Tentukan variable
1) Tentukan variable
X1=kain sutera
X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
Ø 2X1 + 3X2 = 60
(benang sutera)
Ø 2X2 = 30
(benang wol)
Ø 2X1 + X2 = 40
(tenaga kerja)
4) Membuat grafik
Ø 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
Ø 2X2 = 30
X2=15
Ø 2X1 + X2 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik
ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30
X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300
= 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15
X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 45
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 =
15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta.
2. Dengan cara menggeser garis fungsi
tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis
fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua
kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai
pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30
X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 =
900
3. Masalah Minimasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi.
Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
fasible yang terdekat dengan titik origin.
Contoh:
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk
membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan
tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2
unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut
menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:
Jenis Makanan
|
Vitamin (unit)
|
Protein (unit)
|
Biaya per unit (ribu rupiah)
|
Royal Bee
|
2
|
2
|
100
|
Royal Jelly
|
1
|
3
|
80
|
Minimum Kebutuhan
|
8
|
12
|
-
|
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis
makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah - langkah:
1. Tentukan variable
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
Ø 2X1 + X2 = 8
(vitamin)
Ø 2X1 + 3X2 = 12
(protein)
Ø X1 = 2
Ø X2 = 1
4. Membuat grafik
Ø 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
Ø 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
Ø X1 = 2
Ø X2 = 1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat
dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4
X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6
X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 +
160 = 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3
dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.
B. ELIMINASI GAUSS
1. Pengertian Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah
suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks
yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang
paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan
linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini
adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi
matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu
metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.
Secara umum, sistem persamaan linier adalah
sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 +
... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +
... + a2nxn = b2
:
:
: =
:
an1x1 + an2x2 +
... + annxn = bn
|
Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi
gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik
augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1). Selanjutnya adalah
proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap
sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika
yang sudah diubah kedalam bentuk matrik. Lalu kita dapat membuat matrik
augment, kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment,
dimulai dari kolom pertama, lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya. Sebelum
dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik
augment berikut:
2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss
Ciri-ciri dari Metode Eliminasi gauss, yaitu :
Ø Jika suatu
baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Ø Baris nol
terletak paling bawah
Ø 1 utama baris
berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
Ø Dibawah 1 utama
harus nol
Contoh :
Berikut contoh penyelesaian persamaan linear
Diketahui persamaan linear sebagai berikut:
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan nilai x, y dan z!
Jawab :
Ubah persamaan linear ke dalam bentuk
matriks, operasikan matriks tersebut seperti berikut:
b1 x 1 untuk merubah a11 menjadi
1
b2 – b1 untuk
merubah a21 menjadi 0
b3 – 2b1 untuk
merubah a31 menjadi 0
b3 + 3 b2 untuk
merubah a32 menjadi 0
b3 x ½ untuk merubah a33 menjadi
1 ( matriks menjadi Eselon- baris)
Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu
:
x +
2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
kemudian lakukan substitusi balik maka
didapatkan
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
|
x+
2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
|
jadi, nilai x = 3 , y = 0 dan z = 3
3. Algoritma Eliminasi Gauss
Secara umum,sistem persamaan linear adalah
sebagai berikut:
a11x1 +
a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 +
a22x2 + ... + a2nxn = b2
: : : : = :
: : : : = :
an1x1 +
an2x2 + ... + annxn = bn
Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah
sebagai berikut:
a)
Ubahlah sistem persamaan linear tersebut
menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n +
1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir
matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1
= bidimana i = 1, 2, ..., n.
b)
Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang
bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu
matrik, yaitu a11, a22,..., ann atau
disingkat aii. Jika aii _=
0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang
bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu
berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) ↔ (Pj)
dimana j = i + 1, i + 2, ...,
n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii ≠ 0.
c)
Proses triangularisasi.
d)
Hitunglah nilai xn
e)
Lakukanlah proses substitusi mundur untuk
memperoleh xn-1 , xn-2 , ....,x2 ,
x1
Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi
gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat
diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.
C.
CONTOH SOAL
Permasalahan 1
Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu Boneka
A dan Boneka B. kedua Boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan
yaitu ptongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6
kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan B yang dapat dibuat dari
delapan potongan kain dan 62 kancing?
Permasalahan 2
Perhatikan potongan peta yang sudah di perbesar (zoom)
sebagai berikut :
Sebagai contoh perhatikan permasalahan berikut :
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskan dilakukan pendekatan garis
dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polynomial. Dari fungsi
polynomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
DAFTAR PUSTAKA
Chapra, Steven
dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: Erlangga
Munir, Rinaldi.
2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika
Salusu, A.
2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu
0 komentar: