ANALISIS
RIIL
“KELENGKAPAN
PADA ℝ”
Oleh :
KELOMPOK IV
WIDYA : 11.16.12.0027
JUMADIR : 11.16.12.0033
MARIAM : 11.16.12.0010
NURYANTI : 11.16.12.0037
JURUSAN TARBIYAH PROGRAM STUDI
MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI
(STAIN) PALOPO
2013/2014
KENLENGKAPAN PADA ℝ
A. SUPRIMUM DAN INFIMUM
Definisi 1, Misalkan S subhimpunan dari ℝ, maka :
a.
Himpunan S dikatakan
terbatas ke atas (bounded
above) jika terdapat suatu bilangan uÎℝ sedemikian
hingga s £ u
untuk
semua sÎS .
Setiap bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.
b.
Himpunan S dikatakan
terbatas ke bawah (bounded
below) jika terdapat suatu bilangan wÎℝ sedemikian
hingga w £ s
untuk
semua sÎS .
Setiap bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.
c.
Suatu himpunan
dikatakan terbatas (bounded)
jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded).
Sebagai contoh, himpunan S := {xÎℝ:
x < 2} ini terbatas ke atas,sebab bilangan 2 dan sebarang
bilangan lebih dari 2 merupakan batas atas dari S. Himpunan ini tidak
mempunyai batas bawah, jadi himpunan ini tidak terbatas ke bawah. Jadi, S
merupakan himpunan yang tidak terbatas.
Definisi
2, Diberikan
S subset tak kosong ℝ, maka :
a.
Jika S terbatas
ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi
kondisi berikut:
Ø u merupakan batas atas S,
dan
Ø jika
v adalah sebarang batas atas S, maka u £ v .
Ditulis u = sup S .
b.
Jika S terbatas
ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S jika ia lebih besar
dari setiap batas bawah yang lain dari S.
Definisi diatas dapat dinyatakan dengan cara lain:
Ø uÎ ℝ Suprimum dari S Ì ℝ ,jika memenuhi dua sifat :
1)
s £ u untuk semua sÎS
,
2)
jika s ≤ v , untuk semua sÎS, maka u ≤ v .
Ø tÎℝ
infimum dari SÌℝ , jika memenuhi dua sifat :
1)
s≥t untuk semua sÎS.
2)
jika s≥t ,untuk semua sÎS ,
maka t≥r.
Mudah untuk dilihat bahwa jika diberikan suatu
himpunan S subset dari ℝ , maka hanya terdapat satu supremum, atau
supremumnya tunggal. Juga dapat ditunjukkan bahwa jika u ' adalah
sebarang batas atas dari suatu himpunan tak kosong S, maka sup S £ u ' , sebab sup S merupakan
batas atas terkecil dari S. Suatu subset tak kosong S Ì ℝ
mempunyai
empat kemungkinan, yaitu :
(i)
mempunyai
supremum dan infimum,
(ii) hanya
mempunyai supremum,
(iii) hanya
mempunyai infimum,
(iv) tidak
mempunyai infimum dan supremum.
Setiap bilangan real aÎℝ merupakan batas
atas dan sekaligus juga merupakan batas bawah himpunan kosong Æ. Jadi, himpunan Æ tidak
mempunyai supremum dan infimum.
Teorema 3,
Suatu batas atas u dari himpunan takkosong S di ℝ adalah suprimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap
Bukti
:
Ø misalkan
u batas atas sehingga untuk setiap
,
terdapat
ÎS sehingga u-
. Akan ditunjukkan u= sup S.Misalkan v
batas atas dan v≠u.Andaikan v
, ambil
=
u-v
0, menurut hipotensis, maka terdapat
ÎS sehinga u-
. Akibatnya u-(u-v) = v
. ini suatu kontradisi bawa v batas atas
, jika haruslah u
,
yang berarti u= batas atas terkecil dari S. Jika u=sup S.
Ø Misalkan
u = sup S dan ambil
sembarang. Karena u-
dimana s≤u-
. Oleh karena itu terdapat
yang le-bih dari u-
Jadi
u-
untuk suatu
Contoh.
a.
Jika
hanya mempuyai berhingga unsure , maka dapat
ditunjukan bahwa
mempunyai unsure terdesar u dan unsur
terkecil v. maka u = sup
dan v = inf
dimana u dan v unsure- unsure di
.
b.
Himpunan
=
.
Himpunan ini mempunyai batas atas
terkecil 1 dan batas bawah terberbesar 0 yang keduanya terletak pada
.
c.
Himpunan
=
.
Himpunan ini mempunyai batas atas terkecil
1 dan batas bawah terbesar 0 yang keduanya tidak terletak pada
d.
Setiap unsure di
merupakan
batas atas dan sekaligus batas bawah dari himpunan kosong
. jadi himpunan
tidak mempunyai suprimum maupun infrimum.
Sebagai catatan bawah
pada contoh diatas
memuat suprimum dan infrimum.Suprimum yang di
muat di suatu himpunan sering di sebut maksimum dan infrimum yang di muat di
suatu himpunan sering di sebut minimum.
B.
SIFAT
SUPRIMUM PADA
.
Teorema Suprimum
“Setiap himpunan
takkosong dari bilangan riil yang mempunyai batas atas, mempunyai suprimum.
Dengan cara sama, maka setiap himpunana takkosong yang mempunyai batas bawah,
mempunyai infrimum.”
Contoh.
a.
Misalkan S
subhimpunana takkosong dari
yang terbatas di atas dan misalnya a
.
Definisi
himpunana a + S = {a + X : XÎ
} , maka berlaku sup(a + S ) = a + sup(S) .
Bukti.
Misalkan diberikan u = sup S , maka x £ u untuk semua xÎS , sehingga a
+ x £ a + u . Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari
himpunan a + S . Akibatnya sup(a + S ) £ a + u . Selanjutnya, misalkan v
adalah sebarang batas atas a + S, maka a + x £ v untuk semua xÎS . Akibatnya x £ v - a untuk semua xÎS , sehingga v - a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S £ v - a . Karena v adalah sebarang batas atas a + S , maka dengan mengganti v dengan u = sup S , diperoleh a
+ u £ sup (a + S ). Di lain pihak diketahui
sup(a + S ) £ a + u . Akibatnya terbukti bahwa
sup (a + S) = a + u = a + sup S .Jadi a+u supprimum dari a+S. Dengan cara serupakita
peroleh hubungan inf (a+S ) = a+ inf S
Contoh soal
Jika S
R memuat suatu batas atas, tunjukkan bahwa batas atas
tersebut merupakan suprimum dari S.
Bukti ,
Kita misalkan a
> 0 Є S merupakan bilangan R kita harus menunjukkan bahwa a supremum s
adalah batas atas dari aS atau a supremumS
as, untuk
setiap s Є S, dan a supremum S ≤ v, untuk setiap V, batas atas dari aS. Karena
S adalah himpunan yang memuat batas atas, mempunyai supremum, menurut
kelengkapan dari R. Karenanya sup S ≥ s, untuk setiap s Є S. Karena a > 0, a
supremum S ≥ as, untuk setiap s Є S. Artinya, a sup S adalah batas atas dari
as. Akibatnya aS memiliki supremum. Selanjutnya, misalkan W adalah sembarang
batas atas dari aS, atau w ≥ aS, untuk setiap s Є S, karena a > 0, kita
peroleh bahwa w/a ≥ S, untuk setiap s Є S. Disini w/a adalah batas atas dari s.
Akibatnya, w/a ≥ supremum S atau w ≥ a supremum S. Kita peroleh bahwa a
supremum S ≤ w,untuk setiap w, batas atas dari aS. Jadi terbukti bahwa S
R memuat suatu batas atas yaitu a supremum S atau sup
aS dari aS.
0 komentar: